(6) 級数と積分, 積分と微分
問1
pn:2n個の箱に、n個のボールがどれにも高々1個の確率、このとき
log pnn
の極限の問題。
確率は、根元事象のアプローチで、条件を満たす場合が2n個の箱から
ボールを入れる箱をn個選ぶ場合と考えれば、その数 / 全体の数 (= 各ボールの行き先の数)
からすぐに求まる。
log pnnの極限は、
定番とも言える「積分の定義を用いる方法」で求める。pn の
積の部分が log で和になり、Σの形になる。あとは、積分の定義に合うように
式の表現を微調整する。この手法は定番であるが、京大では他に見かけない。
問2
F(θ) =
∫
θ
0
x cos(x + α) dx の最大値の問題。
「微分積分の基本定理」を用いる問題である。
ただし、積分を微分すれば元に戻るという単純な理解では間違ってしまう場合がある。
きちんと原始関数を設定して、積分の定義に基づいて議論を進めることが
大切である。特に、積分区間が関数の場合、合成微分に気をつける必要がある。