(4) 長さ

極方程式 r = 1 + cos θ の曲線の長さを求める問題。

パラメータ表示された曲線の長さは √( (dxdθ)² + (dydθ)² ) の積分で求める。極方程式の場合は x = r cosθ、y = r sin θ で、r や drdθ の消去に 極方程式を利用する。この問題の積分計算は簡単である。この問題を通して、 一連の計算手順に慣れておくこと。

極方程式 r = θ の曲線の長さを求める問題。

曲線の長さを計算する積分で、(1) を使う設定になっている。 √(1+x²) の積分と、 1√(1+x²) の積分は有名な積分で、この解法をとおして 部分積分と (1) の結果を利用する 計算手順を覚えておくと役立つかもしれない。

(2cosθ – cos 2θ, 2sin θ – sin 2θ) の長さLと、長さL/nのθ_n に関する極限を求める問題。

(1) は、パラメータ表示された曲線の長さを、手順にのっとり計算するだけである。 難しくない。

(2)は、sin xx (x → 0) の極限を、どううまく利用できるかが問われている。 この応用は頻繁に出てくるので、一捻りある使い方ができないといけない。