(3) 面積

y = xe^–x、y = ax、x = √2 で囲まれる面積の最小値の問題。

まずは図を描いて、y=ax を動かし、状況を調べることが大切である。そうすると 面積 S(a) は、0 ≦ a < e^–√2で単調減少、1 < a で単調増加 であることがわかる。したがって e^–√2 ≦ a ≦ 1 で考えればよい。

e^–√2 ≦ a ≦ 1 のとき、y = xe^–x と y = ax は 一点で交わり、S(a) の計算ではその交点の位置で区分分けした積分を行う。 交点のx座標はα = –log a となるが、解法で示されているようにαのままで 計算し、αを軸に増減を調べたた方が効率が良い。そこで行われている dαdaの利用や、αとaの増減の議論などを理解して、身につけてほしい。

y = 1x と "中心Oの 円" で囲まれる面積、ただし交点Aでの接線がOAと30°をなす問題。

まず、条件を満たす A(t, 1t) を求める。Aでの接線とx軸との交点Cを計算すると C(2t, 0) となり、△AOCが ２等辺三角形であることがわかる。∠A = 30°より ∠ ACO = 75° となり、 接線の傾きから tan 75° = 1t² が導かれる。したがって tan 75°を計算する必要がある。これは、解法にあるように 75° = 45° + 30° と、加法定理により簡単に計算できる。この計算方法は 覚えておくこと。あとは、解法にあるように面積の足し算・引き算で効率のよい 面積計算を行う。

y=√3 log(1+x)、y=√3 log(1–x)、中心がy軸上で両者に接する円で 囲まれる面積、ただし２接点と中心が正三角形になる問題。

図を描いて確認すると、x > 0 における接点 A での接線の傾きが 30°であることが すぐにわかる。これは正三角形と円に接する条件による。この結果から Aの座標が求まり、あとは対称性に配慮して面積の足し算・引き算で面積計算を行う。

y = sin x と x軸が囲む面積 S：y = sin x とy = a cos x とx軸が囲む面積 T = 3 : 1 のとき、a を求める問題。

Sは簡単に計算できる。Tについて、y = sin x と y = a cos x の交点の x 座標をθとすると、 もちろん a = tan θ である。一方、T を積分で計算すると結果は cos θ と sin θ で表される。 したがって、cos θ 、sin θ を tan θ で表す必要がある。その計算方法は定番なので、 解法を見て、すぐにできるようにしておいてほしい。