(2) 部分積分

∫ √3 1 1x² log√(1+x²)dx の積分の問題。

まずは log の中のルートを外に出す。次に log を部分積分で消すことを念頭に、 log (一次式)にするため、t = x² で置換積分する。そのあと、 部分積分で被積分関数から log を消すと、√t を含む t の分数式が出てくる。 ここでルートを消すため x = √t (即ち、t = x²) で置換積分を行うと ∫ 1x²+1 dx が出てくる。これは x = tan θ の置換積分で計算する定番の積分である。log があれば 部分積分で消すことを積分計算の発想の一つの軸にするとよい。

y = (ex^α –1) log xx と x軸で囲まれる面積の問題。

まずは y = (ex^α –1) log xx の概形、とくに x → 0+、x → +∞ を調べる。どこで y ≧ 0 かだけわかればよい。 ∫ e^1α 1 (ex^α –1) log xxdx の積分計算の問題になる。

被積分関数を ex^α+1 log x と log xx に分ける。 ∫ ex^α+1 log x dx は、log x を被積分関数から消す部分積分を行えばよい。 ∫ log xx dx は、(12(log x)²)' = log xx より、すぐ計算できる。これらの積分計算の手続きは覚えておいた方がよい。

lim ∫ nπ 0 e^–x |sin nx| dx の問題。

まずは、場合分けで絶対値を外す。 "e^αx × 三角関数" の 積分は、部分積分を２回行い、三角関数を2回微分してもとに戻すのが基本である。 この問題もその方針で積分が計算できる。極限では、e^x の微分に関係するものが 出てくる。この問題でその対処法を学んでほしい。