問1

(x+1)√(1–2x2)dx の計算問題。

被積分関数をx√(1–2x2) と√(1–2x2) に分ける。
x√(1–2x2)dx は t = 1–2x2 の置換で、 √(1–2x2)dx は sinθ = √2x の置換で計算できる。


問2

2x+1√(x2+4)dx の計算問題。

被積分関数を2x√(x2+4)1√(x2+4) に分ける。
2x√(x2+4)dx は t = x2+42 の置換で、 1√(x2+4)dx は 2tanθ = x の置換を行い、
次に t = tan θ2 の置換で計算できる。


問3

x = 3t – t2t + 1、 y = 3t2 – t3t + 1 (0≦t≦3) の囲む部分 と y ≧ x の共通部分の面積の問題。

tの関数としてx、yの増減を別々に調べ、その結果を組合せて (x, y) の軌跡の概形を求める。 これにより、何を積分すればよいかを確認する。
面積計算に必要な積分 S = ydx を ydxdtdt により、tの関数の積分にして求める。