(1) 置換積分
問1
∫(x+1)√(1–2x2)dx の計算問題。
被積分関数をx√(1–2x2) と√(1–2x2) に分ける。
∫ x√(1–2x2)dx は t = 1–2x2 の置換で、
∫ √(1–2x2)dx は sinθ = √2x の置換で計算できる。
問2
∫ 2x+1√(x2+4)dx の計算問題。
被積分関数を2x√(x2+4)と
1√(x2+4)
に分ける。
∫
2x√(x2+4)dx は
t = x2+42 の置換で、
∫
1√(x2+4)dx は
2tanθ = x の置換を行い、
次に t = tan θ2 の置換で計算できる。
問3
x = 3t – t2t + 1、
y = 3t2 – t3t + 1
(0≦t≦3) の囲む部分 と y ≧ x の共通部分の面積の問題。
tの関数としてx、yの増減を別々に調べ、その結果を組合せて (x, y) の軌跡の概形を求める。
これにより、何を積分すればよいかを確認する。
面積計算に必要な積分 S = ∫ydx を
∫ydxdtdt
により、tの関数の積分にして求める。