(3) 接線

y = px + q と y = log x が共有点を持たない p、q の条件を求める問題。

y = log x のグラフを描いて、y = px + q の直線を動かして状況を見てみる。 直線が接する場合がカギになることは、直ぐにわかるはずである。 もう一つ、p、qを同時に動かすのでなく、どちらかを固定して、 他方を動かした方がわかりやすいはずである。この方針で考えれば 簡単に解ける問題である。

y = cos x と y = 1 – x²1 + x² の交点に関する問題。

(1) において、分数式の方は、変形すれば単調減少で −１に収束 (x → ∞) することはすぐわかる。これより cos のグラフと交わることもすぐわかる。共有点の x 座標をtとおくと、 cos t はもちろん、sin t も tの分数式で表され、この事実を使うと接線が (0, 1) を 通ることは簡単に示せる。実は、cos θ, sin θ がここで示した分数式をつかった パラメータ表示ができることは有名な事実で、この問題もそれを利用している。 この事実は、覚えておいて損はない。

(2) において、(1) で導いた接線に関する著しい性質を使うはずである。即ち、 2kπ ≦ x ≦ (2k + 1)π で、(0,1) を通る y = cos x の接線がただ一つであることを 示せばよい。これは"通る"条件を方程式で表し、方程式の左辺の関数の増減を 微分で調べればよい。