(2) 接点, 交点

３次グラフと水平線が３点で交わるとき、3交点がおさまる範囲の問題。

与えられた範囲が何を意味しているのか？それがわからないと解決に たどり着くのが難しい。やるべきこと（"範囲"の端点や極値のxの値をグラフの式に代入して正負を見る）はわかっているが、工夫なしに行うと計算が複雑になり、途中でつかえてしまう。区間の形から、グラフをx軸方向に a だけ移動すると計算が簡単だろうと予想される。 実際、移動した式に、やるべきことをやると解ける。

結局、与えられた"範囲"の端点は、水平線が極値を通るときのもう一つの交点の x座標であることがわかる。それがわかっていれば、3点で交わるとき、その３点のx座標が この範囲にあることは明らかである。この問題を通して、そのような「極値を通る水平線と グラフの交点」という発想をレパートリーに加えておくとよい。

y=x³の接線を45°回転した直線とy=x³が3点で交わる接点の問題。

傾きmの直線を45°回転した直線の傾きはベクトルで求めるとよい。 即ち、現在の方向ベクトルが (1, m) で、これを90°回転したベクトルが (–m, 1) で (長さが同じで直交)なので、45°回転した直線の方向ベクトルは これらの和の (1, m) + (–m, 1) = (1–m, 1+m)である。P(p, p³)を 通る、この傾きの直線が L になる。

あとは、方程式 x³ = Lの式 が異なる3実根を持つ p の範囲を定めればよい。 x = p がこの方程式の解 (45°回して接しないので重根でない) であることはわかっているので、 方程式を (x – p) で割って、２次方程式が異なる２実根をもつ条件を求めればよい。

3次グラフと2次グラフの3交点における3次グラフの接線が、一点(p, q) で交わる条件の問題。

(1) では、３交点のx座標をα、β、γとし、これをもとに３本の接線を求め、をれらが (p, q) を 通る条件式を書き下す。次にそれらの式から α、β、γ を消去するのだが、 その対称性から、解と係数の関係を使うところがこの問題のポイントである。

(2) では、通常通り極値の符号により、異なる３点で交わる条件を記述し、それを解く。

３次グラフの傾きが同じ接線 (接点 P₁、P₂)のグラフとの交点 (Q₁、Q₂) に関して、
P₁Q₁ = P₂Q₂ の証明の問題。

(1) は f'(x) = m (2次方程式) の実数解の個数を調べるだけである。

(2) では、P₁(p₁, f(p₁))、 P₂(p₂, f(p₂))の接線を求め、方程式 f(x) = 接線の式　から各々Q₁(q₁, f(q₁))、 Q₂(q₂, f(q₂))を求める。ここでポイントなのは、 上記の方程式は各々 x = p₁、x = p₂ で重解をもつので、各々 (x – p₁)²、(x – p₂)² で割れ、その商として q₁、q₂ は簡単に求まる。P₁Q₁ 、P₂Q₂の 傾きは同じなので P₁、Q₁のx座標の差と、 P₂、Q₂ のx座標の差が等しいことを見れば結果が導ける。