(1) 囲む面積

絶対値の入った２次グラフと直線の囲む面積の問題。

場合分けにより絶対値を外し、図を描き、 各交点を求めて積分を行う。ただし、そのまま計算すると 計算量が多く、間違う危険性が大きい (解法１)。

この手の面積計算では工夫が大切である。一つの工夫は、 面積のある部分を並行、反転、場合によっては回転移動して 別の部分にうまくはめ込み、面積の計算しやすい形に変形することである (解法２)。 同じ観点で、奇関数、偶関数にも注意する。もう一つ別の工夫として、２次グラフと直線が関係する場合は、 公式 ∫(x−α)(x−β)dx = – (1/6)(β – α)³ をフル活用することである。 この公式は、計算量を大きく削減してくれる場合が多い。

点対称な２次グラフと直線で囲む面積の問題。

原点に関しての点対称はなグラフは y → –y、x → –x ですぐに求まる。原点でない場合は、 頂点の移動先と、凸の方向が変わることに注意すれば求まる (2次グラフの場合)。

面積の計算は、そのまま計算しても難しくはないが (解法１)、部分の移動・はめ込みと公式の利用の組合せで劇的に簡単になる。

放物線とその上の２点による線分が囲む面積が常に１のとき、２点の中点の軌跡を求める問題。

２点のx座標をα、βとすると、面積の公式が利用できる。交代式、対称式を意識して 変形すれば必要条件の図形の方程式が導かれる。交代式 (β – α)³ を 2乗して、対称式に変える部分に注意する。また、導かれたのは必要条件なので、 軌跡問題の常として、x の動く範囲を確かめる必要がある。

２つの2次グラフの囲む面積を二等分する接線の、接点に関する問題。

２つの2次グラフの囲む面積、２次グラフと接線が囲む面積各々を 面積の公式を使って、交点のx座標で表せば、簡単に解ける。 こここでも交代式を2乗して、対称式に変形している。
　極限の計算は簡単である。

ある交点で共通接線をもつ3次グラフと2次グラフで囲まれる面積の問題。

まず図を描いて、状況を把握する。共通接線で交わるところは重解なので、 残り１点で交わる。共通接線をもつ条件から a が求まる (２つ)。

交点を求め、面積を普通に計算しても求まるが (計算が少し複雑)、 ここでも部分の移動・はめ込みと公式の利用で劇的に簡単になる。 3次グラフの面積の公式は、解法で示したとおり、2次グラフの 公式から簡単に導ける (3次グラフの対称性を利用)。