(1) 数列

y = e^x+1 の接線より定義される数列 a_n の、 a_n+1−a_nの収束先を求める問題。

(1) は、接点のx座標をbとし、その接線の方程式を求め、その 接線が (a, 0) を通る条件から b の方程式を求める。そして、 その方程式がただ一つの実数解を持つことを示せばよい。 ここでは、グラフの単調増加性を利用している。

(2) は、(1) と同様の手順で、a_n+1 と a_n の 関係式を導いてみる。この関係式より、 a_n → +∞ なら a_n+1 – a_n → 1 がみてとれる。 ここを見逃さないことが重要である。 さらに、同じ式から a_n+1 > a_n + 1 もわかる。 これが a_n → +∞ を意味することも見逃してはいけない。

導いた式を、注意を払ってみることが重要である。

奇遇に応じて半分にする整数値数列 a_nの、Σa_n の不等式に関する問題。

まずは 小さな n で、a_n がどう計算されるかを調べてみる。 そうするとこの問題では、 a_n がどいう形かがわかる。 ただしそれがわかるには、状況をかなり注意深く見る必要がある。 あとは、その和を計算するだけである。

( 12, 1) に値をもつ任意の 数列が満たす不等式の問題。

小さな n で不等式が成り立つかを調べてみる。そうすると不等式の成立で、 何がポイントかが見えてくる。またその中で、n - 1の不等式を n の不等式で どう利用しているかを見極める。これにより、どう数学的帰納法の議論を 展開すればよいかがわかるはずである。この問題は、この方針で解ける。

和を用いて表されるある不等式を満たす数列が、常に0であることを示す問題。

n = 1、2 で様子を調べてみたらすぐわかる簡単な問題である。証明は数学的帰納法を 使う。

a_n+1 = x a_n + yⁿ⁺¹ を扱う問題。

定番の変形を行なって、数列を求める。あとは x < y と y < x に分けて収束条件を 求める。

和を用いて表されるある等式と和の収束先を満たす数列を求める問題。

a_n = S_n − S_n–1 を用いれば、 与えられた等式は a_n の漸化式になる。 この漸化式は "バタバタと消える" 単純な形で、a_n はすぐに求まる。

ただしここまでで求まるのは n ≧ 3 の場合であり、それも未定の a₃に依存する。 a₃ は②と③を利用して決定し、a₂ は①と③を利用して決定 する。ここがこの問題の、要注意部分である。