(1) 三角関数の公式

cos 4θと sin²θで表された関数の最大値・最小値の問題。

cos 4θ、 sin²θ を各々 cos 2θで表し、cos 2θ の方程式として解く。 cos 2θ の動く範囲に注意する。非常に簡単な問題である。

円上の点から円に内接する二つの円に下ろした接線に関する問題

まずはきちんと図を描く。(1) は、接線が作る直角三角形に注意し、それに加えて 隣接する三角形に余弦定理を用いれば簡単に解ける。

(2) は計算の問題である。√(1−cosθ) をsin θ2 、√(1+cosθ) をcos θ2 で表して √ をとる式変形を行い、さらにsin と cos の合成の式を利用すれば解ける。 すなわちこれは、三角関数の等式を活用する問題である。　

sin 3θ、sin 2θ、sin θを係数とする整数変数m、nの一次方程式を解く問題。

(1) に関して、３倍角、２倍角の公式を使って sin θ、cos θの方程式に変換することを考える。そうすると cos θの２次方程式になり、cos θの値が求まるが、そこからθの 値がわからない（実は、ここで得られた cos の値は正五角形が関係している）。 それで、与式をもう一度よくみると sin A = sin B という単純な形であったことに 気づく。θの条件から導かれる 0 < A < π、A < B < 2π のとき、この等式が成り立つのは A、Bが π2 をはさんで対称な位置にあるときである。これで問題が解ける。

(2) では、(1) で得た２次方程式を使う。その方程式が解を持つ条件から m、n の範囲が絞られ、m、nの少数の候補が得られる (整数問題の基本アプローチ3)。あとはその各々について方程式を解き、θを求めるだけである。

cos 2θ、cos θを係数とする実数変数a、bの１次不等式を解く問題。

２倍角の公式を使い、cos θの２次不等式に変換する。 あとは −１≦ cos θ ≦ 1 の範囲で、つねにその不等式が成り立つための a、b の条件を求めるだけである。