京大では、正四面体に関する問題が非常によく出る。 問題を出すにはちょうど手頃な空間図形だからか？ 概して問題は易しい。

問１

４面体の６辺上にある６点からなる８面体の問題

対称的な表現はくずれるが、"３辺"の一次独立性を活用したいので、 Oをベクトルの起点にした方がよい問題である (例外的) 。ベクトル表現と OA、 OB、 OC の一次独立性だけから、機械的な計算により(1) の答えは出る。

(2) も機械的な計算結果に中線連結定理を利用すれば結果が導ける。 ただし、パラメータの数が多く、状況が煩雑なので どの性質を利用するかの見極めが重要である（②と③）。


問２

４面体の頂点から対面三角形への垂線の足が、その外心となる場合の問題。

幾何学的に状況を把握したら結果がすぐに見通せる問題である (３つの合同な直角三角形を認識する)。


問３

正四面体の２辺上の各々中点、動点と正四面体の頂点がなす角のcosの最大値の問題。

cos ∠PDQ の最大値ということは∠PDQが最小ということである。 Pは定点で、△ADCを底辺にしてQを動かしてみると、どこで∠PDQが 最小になるかがわかる (この考察は他で使えるかもしれない)。あとは図形に現れる各線分の長さの計算だけである。


問４

正四面体の３辺上の動点が正三角形をなす場合の平行性に関する問題。

図をしっかり描いて眺めると OP = OQ = OR が等しいことを言えばよいことは すぐわかる。そしてこの等式は、余弦定理を使えば出てくる。 その計算では、目的を念頭において対称性を意識しながら議論を進めることが大切である。


問５

４面体の対辺が垂直で、各面の面積が等しいときに、正四面体になることの問題。

与えらた問題は対称的なので、議論も対称的に行うのがよい。 条件 (2) に関して、各面の面積の2乘は内積で表され (ここがポイント)、 条件 (1) に関しても、直交条件は内積で表される。この２つを組合せれば 結果がすぐ得られる。


問６

正四面体の３辺上の３動点 (２つは同じ内分) をとおる平面が、ある点 I を通る条件に関する問題。

対称性を意識して、I を通り、３動点のなす三角形と対称な位置で交わる平面を考える。 その平面による断面を見れば状況は把握できる。あとは図形の計算だけである。"ときどき役立つ"メネラウスの定理を効果的に使える部分がある。