(3) 虚数解

4次方程式が2つの整数解、2つの虚数解をもつ問題。

整数解 (m, n) は、最高次の係数と定数項から求まる基本的事実を利用する (解法の式変形を参照。m、nは1の約数、すなわち±1)。一方、2つの虚数解は α±βi と表される。 これも重要な事実である。 定数項を見て mn(α²+β²) = 1 が導かれ、 これをもとに、適切な場合分けをして解く。

5次方程式が虚軸上に解をもつ問題。

これも、かなり簡単な問題である。虚軸上の根を αi (αは実数、≠0)とおき、 「a、bが実数のとき、a + bi = 0 なら a = b = 0」という基本的な性質を 使って、αとaに関する２つの等式を導いて解くだけである。