問１

(pn)!がpの何乗で割り切れるかの問題。

n乗と、階乗が組み合わさって複雑である。 こういうときはやはり、小さなp、小さなnで 状況を調べることが大切である。 落ち着いてpの出現パターンを調べる。 状況さえわかってしまえば、簡単な問題である。

自然数aが与えられたとき、a! が丁度pの何乗で割り切れる かは、整数問題で非常に基本的な問題でり、 その結果はいろいろな定理の証明の 細かな部分でよく利用される。 この問題に対して、ガウス記号を 使った公式が得られており、その結果と証明 (考え方はこの解法と同じ) を 前テーマの「(4) 素数ベキの処理 [基本α]」の解説で述べた。 この問題にまつわる問題が出題される可能性は 十分あるので、「解説」を読んで、結果と導き方を 理解してほしい。

○練習問題：(73)! は丁度7の何乗で割れるか？
○練習問題：(143)! は丁度7の何乗で割れるか？
○練習問題：(83)! は丁度7の何乗で割れるか？



問２

pqCr の公約数の問題。

この問題も、小さな p, q で状況を調べれば すぐに解法の糸口がみえ、 5分から10分で解ける非常に簡単な問題である。

「pn–k (1≦ k < p) はpで割れない」という簡単だが大切な事実より、 pqCp (p, qは素数) がpで割り切れないという結果が導かれる。 この結果は、pCr (pは素数) がpで割り切れるという 結果とならんで、利用価値の高い結果である。

○基本事項の確認： 3・2C3 = (3・2)・(3・2–1)・(3・2–2) 3・2・1 　は3で割れない。