(5) 無理数
2の3乗根とそれを解とする多項式の問題。
(1)に関して、根号 (ルート)と同様、n乗根が一般に無理数
(n乗根をとる数がn乗の数でなければ)
であることは、解法にあるように有理数 a/b (a, bは互いに素な自然数)とおいて、
a, b の素因子に関して、矛盾があることを導いて示す(背理法)。
この解法の流れを覚えておくこと。
(2)に関して、③の両辺に2の3乗根を掛けているところがポイント。
「2の3乗根」の3乗は自然数の2である。この3乗根の定義を
有効に利用している。
○練習問題:7の4乗根が無理数であること示せ?
○練習問題:23の4乗根が無理数であること示せ?
(a+b√2)のn乗の係数をみる問題。
(1)は比較的やさしいが、(2)は少し難しい。
複数の解法を示したが、どれも思いつきにくい
発想で問題を解決している。しいていえば、
別解法2が一番自然かもしれない。
これらの解法各々の「思いつきにくい発想」を、この問題を
通して身につけるのがよい。
(a+bi)の素数p乗が実数でないことを示す問題。
二項展開、pが素数のときpCrはpで割り切れる
というよく出るテクニックを使うが、それだけではこの問題は解けない。
まず簡単な例で状況を調べて、解決のヒントを得るっことが必要である
(「展開した後のiの係数d=0 ならば a=1」を示す方針)。
また、pのベキ数に関する緻密な考察も必要になる (e+1 < 3e)。
√2、√3の有理数係数1次式の問題 (線型独立)。
「p、q、rが有理数で p+q√2+r√3=0のとき、p = q = r = 0」という
命題は、それ自身非常に基本的な事実なので、解法のテクニックは
そのまま覚えてしまおう。
○練習問題:p、q、r、sが有理数で p+q√2+r√3+s√5=0のとき、p = q = r = s = 0?